Soyut Cebir Karşısında Formelleştirilmiş Mantık

--------------------------------------------------------------------------------

Artık, çağdaş mantık, tüm çıkarım yöntemlerini tek “mantık”a indirgemekten çok, formelleştirilmiş sistemleri birbirleriyle karşılaştırma işiyle ilgilenmektedir. Sistemler, biri öbürünün uzantısı, genişlemesi olarak görülmeksizin de karşılaştırılabilirler. Bu da, birini öbürüne dayanarak yorumlamakla, binindeki geçerli bir ifadeyi, öbürünün geçerli bir ifadesiyle uzlaşıma getirmekle olur.

Bu bakımdan, özellikle mantıksal ve matematiksel sistemler arasında yapılan karşılaştırma ilgi çekicidir. Öyle ki, bu karşılaştırma sonunda matematik yeni bir yönelim kazanmıştır.

Örneğin “soyut cebir” üzerine yeni bir form geliştirilmiştir ve artık burada yapılan yorumlar, az ya da çok bulanık “nicel” veriler ile sınırlı değildir Soyut cebir sistemleri, “nicelik” lerle değil, birlikler, gruplar, halkalar kümeler, v.b. ile ilgilidirler. Bu sistemler belli aksiyomlardan yola çıkılarak formelleştirilebilir ve ne var ki, bu aksiyomlar hiç da mantıksal aksiyomlar değillerdir. Öyle ki, bu sistemler elemanter cebir işlemlerini de içerirler Sonuç olarak, formelleştirilmiş sistemlerin iki büyük grubu olduğunu görüyoruz: Mantık sistemleri ve soyut cebir sistemleri Ve son kuşak mantıkçıları için en korkutucu olan şey şudur: Bu sistemlerden biri öbüründen daha elemanter ya da fondamental değildir.

Buna karşılık, bu sistemler arasında giderek bir uzlaşım sağlanabilir. Birinin elemanları ile öbürünün elemanları arasında eşbiçimsel (isomorf) bir uygunluk oluşturulabilir Bu da iki şekilde olabilir:
1. Soyut cebir sistemleri mantıksal sistemlerin eşbiçimseli olarak görülebilirler,
2. Uzlaşımsal sayıların ve rekursif işlevlerin kullanılmasıyla -Gödel, bu teknik konusunda büyük başarıya ulaşmıştır mantıksal ifadeler ve mantıksal kanıtlamalar aritmetiğin ifadeleri ve işaretleri ile formüle edilebilir